東工大2005前期数学

第1問

(1)○(2)×(3)×

第2問

(1)△(2)△

第3問

△

第4問

(1)○(2)△

1はsinⁿxの積分で有名なやつのlogⁿxバージョンです。一手目は部分積分ですがn-1とn-2を作るのは示す形から明らかなので、n-2が出るまでやります。(2)は答え見ると簡潔だけど数字勘無い人からするとたったこれだけのことが思い付かないんです。(3)は不等式の評価で、ある程度あたりを付けて誘導を考慮してやらなければいけない。東工大の数3らしいテーマと言えるし難しい。

2は期待値の問題であり、範囲外だったかもしれないがそんなことは関係ない。集合と同様に成り立つ関係から計算していく。尚、36通り全部書いて計算しても良い。どちらにしても計算量が多く(後者は段違いに多いが)、ミスなくこなすのが大変であった。4桁の分数が答えに出てくるのはどうなんですかね、東工大さん。

3は至ってシンプル。図形も想像しやすいので、y＝一定で切って円の和集合の面積を求めて集めるだけ(2006の3も円の和集合の面積の問題であった)。yの一定値tや角度θなど文字数が増えるので変換でミスらないように(ここでミスった)。

4はx²+y²≦1に飛びついてs,tを代入して完答した気になってはいけない。s,tの存在条件は必ず確かめなくてはいけないからである。s,tを2解に持つ方程式の実数解条件のことだ。(2)は明らかに線形計画法の匂いがする。ここで最小値について1番左の点に飛び付いてはいけない。題意の直線が(0,-1/2)と(-√2,1/2)を通る時の傾きより小さいか大きいかで最小値が変わるからである。

全体として1の(3)の不等式が正しく評価出来るかどうか以外に難しい箇所はないが、場合分け、期待値計算、積分計算とミスりやすいものが並んでいる。普段からこれを意識して勉強し、ミスを減らすことが望ましい(戒め)。なお、1は多少難しくも良問なので是非といて欲しい。

難易度を付けるとしたらCBBB